No, non è assolutamente necessario essere collegati ad internet. Una rete privata è una rete che permette a tutti i tuoi PC di vedersi tra di loro. L'accesso ad internet, per il nostro scopo è superfluo.
Per quanto rigurda il router, va bene un qualsiasi modem di quelli che ti danno gli operatori telefonici per l'ADSL o per la Fibra. Tutti hanno almeno 4 ingressi di rete via cavo e la gestione del Wifi. Il collegamento ad internet, come detto sopra è superfluo.
Oppure ti comperi un router puro (è l'equivalente di un modem ma senza la porta per l'accesso ad internet. Su Amazon ce n'è a bizzeffe.Per quello che devono fare, vanno tutti benissimo.
Ciao.
Mauro.